Jak obliczyć sumę liczb od 1 do 100 — najprostsza metoda

Gdy słyszymy pytanie „Jak obliczyć sumę wszystkich liczb od 1 do 100?”, łatwo pomyśleć, że najlepszym sposobem byłoby ręczne dodanie każdej z nich. Jednak to żmudne i czasochłonne. Na szczęście istnieje szybka metoda, którą można zapisać wzorem matematycznym. Używa się do tego klasycznego wzoru na sumę ciągu arytmetycznego:

S = (n * (a₁ + aₙ)) / 2

Gdzie:
n – liczba wszystkich wyrazów ciągu (tutaj 100),
a₁ – pierwszy wyraz (czyli 1),
aₙ – ostatni wyraz (czyli 100).

Podstawiamy dane:

S = (100 * (1 + 100)) / 2 = (100 * 101) / 2 = 10100 / 2 = 5050

Zatem suma liczb od 1 do 100 wynosi dokładnie 5050.

Kim był Gauss i co ma wspólnego z tą sumą?

Legenda głosi, że już w wieku siedmiu lat niemiecki matematyk Carl Friedrich Gauss zaskoczył swojego nauczyciela szybkim obliczeniem sumy liczb od 1 do 100. Wystarczyło, że dostrzegł pewną regularność: gdy dodamy pierwszą i ostatnią liczbę (1 + 100 = 101), potem drugą i przedostatnią (2 + 99 = 101), to każda para daje taką samą sumę.

Ile takich par znajdziemy? Liczby od 1 do 100 tworzą 50 takich par:

50 * 101 = 5050

Takie myślenie to klasyczna demonstracja matematycznej elegancji. Gauss udowodnił, że sprytne dostrzeżenie wzorca może rozwiązać złożony problem w kilka chwil.

Suma liczb od 1 do 100 — zastosowania w życiu codziennym

Może się wydawać, że obliczanie sumy liczb od 1 do 100 to czysto akademicka zabawa. Ale nic bardziej mylnego! Tego rodzaju obliczenia przydają się w wielu dziedzinach: w finansach, informatyce, planowaniu projektów czy analizie danych.

Załóżmy, że oszczędzamy codziennie złotówkę więcej niż dnia poprzedniego — pierwszego dnia 1 zł, drugiego 2 zł itd. Po 100 dniach oszczędzania ile pieniędzy zgromadzimy? Odpowiedź już znamy – 5050 zł. Nagle wzór matematyczny nabiera bardzo praktycznego wymiaru.

W informatyce takie sumy pojawiają się np. przy analizie złożoności niektórych algorytmów. Przykład? Pętle, które wykonują się zależnie od rozmiaru danych wejściowych. Poznanie wzorów na sumę liczb może ułatwić optymalizację kodu.

Jak obliczyć sumę liczb od 1 do 100 w Excelu?

Nie musisz być mistrzem matematyki, by szybko obliczać sumy liczb za pomocą popularnych narzędzi, jak Microsoft Excel. Chcesz obliczyć sumę liczb od 1 do 100? Wpisz je w kolumnę i użyj funkcji SUMA:

=SUMA(1:100)

Alternatywnie, jeśli nie chcesz wpisywać ręcznie liczb, możesz skorzystać z formuły:

=SUMA(SEKWENCJA(100))

Używając SEKWENCJI, Excel automatycznie wygeneruje liczby od 1 do 100 i obliczy ich sumę. Całość zadziała również w Google Sheets.

Wzór na sumę liczb od 1 do n — jak działa i dlaczego?

Zamiast pytać, jak obliczyć sumę tylko do 100, warto zrozumieć ogólny mechanizm. Wzór na sumę liczb naturalnych od 1 do n to:

S = n(n + 1)/2

Działa on niezależnie od wartości n. To nie tylko narzędzie, ale dowód na potęgę matematycznego myślenia. Posługując się nim, bez trudu policzymy takie sumy:

• Suma liczb od 1 do 50: 50 * 51 / 2 = 1275
• Suma liczb od 1 do 200: 200 * 201 / 2 = 20100
• Suma liczb od 1 do 1000: 1000 * 1001 / 2 = 500500

Wzór ten warto znać na pamięć — przydaje się częściej, niż myślimy.

Jak policzyć sumę liczb od 1 do 100 programistycznie?

Dla entuzjastów kodowania obliczenie takiej sumy to świetne ćwiczenie. W językach programowania wygląda to różnie, oto kilka przykładów:

Python

sum = 0
for i in range(1, 101):
    sum += i
print(sum)

JavaScript

let sum = 0;
for (let i = 1; i <= 100; i++) {
    sum += i;
}
console.log(sum);

Alternatywnie

const sum = (100 * (100 + 1)) / 2;
console.log(sum);

Zauważ, że w wielu sytuacjach wzór matematyczny działa szybciej i efektywniej niż pętla, szczególnie w dużych zbiorach danych.

Suma parzystych i nieparzystych liczb od 1 do 100

A co, jeśli chcemy zsumować tylko liczby parzyste albo tylko nieparzyste w zakresie 1–100?

Suma liczb parzystych od 1 do 100:

Liczby parzyste w tym zakresie to: 2, 4, 6, ..., 100. To 50 elementów. Korzystamy znów ze wzoru:

S = (n * (a₁ + aₙ)) / 2

S = (50 * (2 + 100)) / 2 = (50 * 102) / 2 = 2550

Suma liczb nieparzystych od 1 do 100:

Liczby nieparzyste: 1, 3, 5, ..., 99 – też 50 elementów:

S = (50 * (1 + 99)) / 2 = (50 * 100) / 2 = 2500

Zatem suma liczb parzystych od 1 do 100 to 2550, a suma nieparzystych — 2500. Razem tworzą pełen zbiór: 2550 + 2500 = 5050.

Czy suma od 1 do 100 to liczba trójkątna?

Tak! Liczba 5050 to tak zwana liczba trójkątna. Oznacza to, że można z niej ułożyć trójkąt, gdzie każdy rząd zawiera o jedno oczko więcej niż poprzedni. Liczby trójkątne są ściśle związane z naszym wzorem:

T(n) = n(n + 1)/2

Dla n = 100, T(100) = 100 * (100 + 1) / 2 = 5050. To potwierdza, że liczba ta ma więcej wspólnego z geometrią niż mogłoby się wydawać.